Aukso pjūvio skaičiuoklė kaip apskaičiuoti aukso pjūvį

Kas yra aukso pjūvis ir kodėl jis lygus 1,618?

Aukso pjūvis yra toks atkarpos dalijimas į dvi nelygias dalis, kai visa atkarpa santykiauja su ilgesne dalimi lygiai taip pat, kaip ilgesnė dalis santykiauja su trumpesne. Jei ilgesnę dalį pažymėsime a, o trumpesnę b, sąlyga užrašoma (a + b) / a = a / b. Šis bendras santykis žymimas graikiška raide φ (fi) ir lygus 1,6180339887…, o dešimtainė jo dalis tęsiasi be galo ir nesikartoja.

Skaičius 1,618 atsiranda ne iš susitarimo, o iš pačios sąlygos. Jei santykį a / b pažymėsime x, lygybė (a + b) / a = a / b virsta 1 + 1/x = x, arba x² = x + 1. Ši kvadratinė lygtis turi vieną teigiamą sprendinį x = (1 + √5) / 2, ir tai yra φ. Antrasis sprendinys (1 − √5) / 2 ≈ −0,618 yra neigiamas, todėl atkarpoms dalyti netinka, tačiau jis naudojamas Bineto formulėje, apie kurią kalbama toliau.

Praktikoje aukso pjūvį patogiausia įsiminti procentais: ilgesnė dalis sudaro apie 61,8 % visos atkarpos, trumpesnė apie 38,2 %. Šie du skaičiai yra 1/φ ir 1/φ², ir jų suma yra lygiai 100 %. Tas pats santykis vadinamas ir auksine proporcija, dieviškąja proporcija, aukso viduriu ar kraštutiniu ir vidutiniu santykiu, tai skirtingi to paties dalyko pavadinimai.

Skaičius φ ypatingas tuo, kad norint jį pakelti kvadratu tereikia prie jo pridėti vienetą, o norint gauti atvirkštinį skaičių tereikia vienetą atimti: φ² = φ + 1 ≈ 2,618 ir 1/φ = φ − 1 ≈ 0,618, todėl skaitmenys po kablelio visuose trijuose skaičiuose sutampa. φ yra iracionalusis skaičius, o jo grandininė trupmena sudaryta vien iš vienetų: φ = 1 + 1/(1 + 1/(1 + …)). Dėl to racionaliosiomis trupmenomis jis aproksimuojamas lėčiausiai iš visų skaičių, ir matematikai jį kartais vadina „labiausiai iracionaliu“ skaičiumi. Ta pati proporcija aptinkama taisyklingame penkiakampyje: jo įstrižainės ir kraštinės santykis lygus φ, o įstrižainių sudaryta pentagrama dalijama aukso pjūviu.

Kaip apskaičiuoti aukso pjūvį: formulė ir pavyzdžiai su skaičiais

Aukso pjūvį apskaičiuoti galima žinant bet kurį vieną iš trijų dydžių: visą atkarpą, ilgesnę dalį a arba trumpesnę dalį b. Kiti du dydžiai gaunami dauginant arba dalijant iš φ ≈ 1,618. Jei žinote visą atkarpą, ilgesnė dalis yra visa atkarpa, padalyta iš φ (arba padauginta iš 0,618), o trumpesnė dalis yra likutis, lygus visai atkarpai, padaugintai iš 0,382.

Pavyzdžiui, 100 cm ilgio atkarpa aukso pjūviu dalijama į 61,8 cm ir 38,2 cm ilgio dalis. Patikrinkime: 100 / 61,8 = 1,618 ir 61,8 / 38,2 = 1,618, abu santykiai sutampa, kaip ir reikalauja apibrėžimas. Jei žinote tik ilgesnę dalį, tarkime, 50 cm, trumpesnė dalis bus 50 / 1,618 = 30,9 cm, o visa atkarpa 50 × 1,618 = 80,9 cm. Jei žinote tik trumpesnę dalį, tarkime, 20 cm, ilgesnė dalis bus 20 × 1,618 = 32,4 cm, o visa atkarpa 20 × 2,618 = 52,4 cm, nes visos atkarpos ir trumpesnės dalies santykis lygus φ² ≈ 2,618.

Lentelėje pateikti visi šeši veiksmai, kurių pakanka bet kuriam aukso pjūvio uždaviniui išspręsti. Viršuje pateikta skaičiuoklė daro tą patį: įvedus vieną dydį, ji apskaičiuoja kitus du ir pagal juos nubraižo stačiakampį.

Geometriškai aukso pjūvį galima gauti tik skriestuvu ir liniuote, be jokių skaičiavimų. Nubrėžkite atkarpą AB, jos gale B nubrėžkite statmenį, lygų pusei AB, gautą tašką C sujunkite su A, iš centro C nubrėžkite CB spindulio apskritimą, kertantį atkarpą AC, o tada iš centro A nubrėžkite apskritimą per gautą tašką, kertantį atkarpą AB. Susikirtimo taškas dalija AB aukso pjūviu. Būtent tokia konstrukcija aprašyta Euklido „Pradmenyse“.

Kas yra aukso stačiakampis ir kaip iš jo gaunama aukso spiralė?

Aukso stačiakampis yra stačiakampis, kurio ilgesnės ir trumpesnės kraštinės santykis lygus φ ≈ 1,618, pavyzdžiui, 1000 × 618 taškų arba 21 × 13 cm. Pagrindinė jo savybė: jei nuo aukso stačiakampio atkirsite kvadratą, kurio kraštinė lygi trumpesnei stačiakampio kraštinei, likusi dalis vėl bus aukso stačiakampis, tik mažesnis. Iš 1 × 1,618 stačiakampio atkirtus 1 × 1 kvadratą lieka 0,618 × 1 stačiakampis, o 1 / 0,618 = 1,618.

Šį veiksmą galima kartoti be galo: kiekvieną kartą atkirtus kvadratą, lieka vis mažesnis aukso stačiakampis, pasuktas 90 laipsnių. Jei kiekviename atkirstame kvadrate nubrėšime ketvirtį apskritimo, kurio spindulys lygus kvadrato kraštinei, ir juos sujungsime, gausime kreivę, kuri vadinama aukso spirale. Tiksliau, tai jos artinys iš apskritimų lankų; tikroji aukso spiralė yra logaritminė spiralė, kurios atstumas nuo centro per kiekvieną ketvirtį apsisukimo padidėja φ karto.

Viršuje pateikta skaičiuoklė braižo būtent tokį stačiakampį ir spiralę pagal jūsų įvestus dydžius. Tokį brėžinį dažnai galima pamatyti uždėtą ant nuotraukų, logotipų ar paveikslų, tačiau pats aukso stačiakampis yra tiksliai apibrėžtas matematinis objektas, o tai, ar konkretus paveikslas buvo pagal jį kurtas, yra atskiras klausimas, apie kurį kalbama skyriuje apie mitus.

Aukso stačiakampio nereikia painioti su A formato popieriaus lapu. A4 lapo kraštinių santykis yra √2 ≈ 1,414, o ne φ, ir jis parinktas dėl kitos savybės: perlenkus lapą pusiau, gaunamas tokių pačių proporcijų lapas. Aukso stačiakampis tokios savybės neturi, jo proporcija išlieka atkirtus kvadratą, o ne perlenkus per pusę.

Kaip Fibonačio skaičiai susiję su aukso pjūviu ir kodėl 8/5 ≈ 1,6?

Fibonačio skaičiai susiję su aukso pjūviu taip: dviejų gretimų sekos narių santykis F(n+1)/F(n), didėjant n, artėja prie φ. Fibonačio seka prasideda skaičiais 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, kiekvienas kitas narys yra dviejų ankstesnių suma. Pirmieji santykiai dar gerokai skiriasi nuo 1,618: 2/1 = 2, 3/2 = 1,5, 5/3 = 1,667, tačiau jau 8/5 = 1,6, 13/8 = 1,625, 21/13 = 1,615, o 144/89 = 1,61798 nuo φ skiriasi mažiau nei viena dešimttūkstantąja.

Šį artėjimą XVII amžiaus pradžioje pastebėjo astronomas Johannesas Kepleris, o seką Europai 1202 metais pristatė Leonardas Pizietis, žinomas kaip Fibonačis, knygoje „Liber Abaci“ pateikęs triušių dauginimosi uždavinį. Tikslų ryšį išreiškia Bineto formulė: n-tasis Fibonačio skaičius lygus (φⁿ − ψⁿ) / √5, kur ψ = 1 − φ ≈ −0,618 yra antrasis lygties x² = x + 1 sprendinys. Kadangi ψ modulis mažesnis už vienetą, jo laipsniai greitai artėja prie nulio, ir F(n) praktiškai lygus reiškinio φⁿ / √5 vertei, suapvalintai iki sveikojo skaičiaus.

Lentelėje matyti, kaip santykiai svyruoja apie φ: kas antras yra didesnis, kas antras mažesnis, o skirtumas nuo 1,6180339887 kiekvienu žingsniu mažėja maždaug φ² ≈ 2,618 karto. Tokią lentelę rodo ir skaičiuoklė.

Būtent todėl dizaine ir amatuose vietoj iracionaliojo skaičiaus φ naudojami sveikieji Fibonačio skaičiai: proporcija 5:8 nuo aukso pjūvio skiriasi vos 1,1 %, o 8:13 jau tik 0,4 %. Taisyklė 3:5:8, kurią rodo skaičiuoklė, paremta trimis iš eilės einančiais Fibonačio skaičiais, kuriuos sieja lygybė 3 + 5 = 8, tai yra trumpesnės dalies, ilgesnės dalies ir visos atkarpos ilgiais, suapvalintais iki sveikųjų skaičių.

Kas atrado aukso pjūvį ir iš kur kilo pavadinimas „auksinis“?

Aukso pjūvį pirmasis matematiškai aprašė Euklidas apie 300 metus prieš mūsų erą veikale „Pradmenys“: VI knygos 3 apibrėžime jis įvedė kraštutinio ir vidutinio santykio sąvoką, kai visos atkarpos ir didesniosios dalies santykis yra toks pat kaip didesniosios ir mažesniosios dalių. Euklidas pateikė ir geometrinę konstrukciją, leidžiančią taip padalyti atkarpą, ir naudojo ją taisyklingiems penkiakampiams bei dodekaedrams brėžti. Pats žodis „auksinis“ tuo metu dar nebuvo vartojamas, graikams tai buvo grynai geometrinė proporcija.

Renesanso laikais šia proporcija susidomėjo menininkai ir matematikai. Pranciškonas ir matematikas Luca Pacioli 1509 metais Venecijoje išleido knygą „De divina proportione“ (Dieviškoji proporcija), kurią iliustravo Leonardas da Vinčis: jis parengė daugiasienių, tarp jų ir dodekaedro, brėžinius. Pacioli aukso pjūvį siejo su dieviškumu, ir nuo tada plito pavadinimas „dieviškoji proporcija“.

Terminas „aukso pjūvis“ yra kur kas vėlesnis. Pirmą kartą jis užfiksuotas 1835 metais vokiečių matematiko Martino Ohmo (fiziko Georgo Ohmo brolio) vadovėlyje kaip „goldener Schnitt“. Iš vokiečių kalbos pavadinimas išplito į kitas kalbas, lietuviškas „aukso pjūvis“ yra jo tiesioginis atitikmuo. Raidę φ šiam skaičiui žymėti XX amžiaus pradžioje pasiūlė amerikiečių matematikas Markas Barras senovės graikų skulptoriaus Fidijo (Pheidias) garbei, nors įrodymų, kad Fidijas sąmoningai naudojo šią proporciją, nėra.

Po Euklido, bet dar iki Ohmo, svarbų žingsnį žengė Johannesas Kepleris, kuris XVII amžiaus pradžioje aprašė ryšį tarp aukso pjūvio ir Fibonačio skaičių ir šią proporciją kartu su Pitagoro teorema vadino dviem geometrijos lobiais. Taip per du tūkstantmečius grynai geometrinė Euklido sąvoka tapo skaičiumi, kuris jungia algebrą, skaičių teoriją ir augalų morfologiją.

Kur aukso pjūvis pasitaiko gamtoje: aukso kampas, saulėgrąžos ir kankorėžiai

Aukso pjūvis gamtoje patikimiausiai aptinkamas augalų filotaksėje, tai yra lapų, sėklų ir žvynelių išsidėstyme aplink stiebą ar žiedyno centrą. Daugelio augalų kiekvienas naujas lapas ar sėkla išauga maždaug 137,5° kampu nuo ankstesnio lapo ar sėklos. Šis kampas vadinamas aukso kampu: jis gaunamas visą apskritimą, 360°, padalijus aukso pjūviu ir paėmus mažesniąją dalį, 360° × 0,382 ≈ 137,5°.

Dėl tokio kampo saulėgrąžos sėklos susidėsto į dvi priešingomis kryptimis vingiuojančių spiralių grupes, ir spiralių skaičiai jose beveik visada yra gretimi Fibonačio skaičiai: 34 ir 55 arba 55 ir 89 dideliuose žiedynuose. Kankorėžių žvyneliai sudaro 8 ir 13 arba 5 ir 8 spiralių, ananasų akutės dažniausiai sudaro 8 ir 13 spiralių. Taip pat išsidėstę ir daugelis kaktusų bei šeivamedžių žiedynų.

Priežastis yra ta pati grandininės trupmenos savybė: aukso kampas yra sunkiausiai racionaliuoju kampu aproksimuojama apskritimo dalis, todėl nauji lapai niekada tiksliai neatsiduria virš senų, o sėklos žiedyne pasiskirsto tolygiausiai. Tai matematikos ir augalų augimo mechanikos rezultatas.

Kiti dažnai minimi pavyzdžiai kur kas mažiau įtikinami. Nautilo kriauklė yra logaritminė spiralė, tačiau jos augimo koeficientas per ketvirtį apsisukimo dažniausiai svyruoja apie 1,3, tad tai nėra aukso spiralė. Galaktikų vijos ir uraganai taip pat yra logaritminės spiralės su įvairiais koeficientais, o skirtingų žmonių kūno proporcijos labai skiriasi.

Ar Partenonas, Didžioji piramidė ir „Mona Liza“ tikrai sukurti pagal aukso pjūvį?

Patikimų įrodymų, kad Partenonas, Didžioji Gizos piramidė ar Leonardo da Vinčio „Mona Liza“ buvo sąmoningai kurti pagal aukso pjūvį, nėra. Astrofizikas Mario Livio knygoje „The Golden Ratio: The Story of Phi“ (2002) ir matematikas George'as Markowsky straipsnyje „Misconceptions about the Golden Ratio“ (1992) peržiūrėjo šiuos teiginius ir parodė, kad jie remiasi pasirinktais matavimais: matuotojas pats renkasi, nuo kurio laiptelio iki kurio karnizo matuoti, ir iš daugybės galimų atkarpų porų visada galima rasti tokių, kurių santykis artimas 1,618.

Partenono fasadą įprasta įrėminti aukso stačiakampiu, tačiau tam reikia matuojant įtraukti ne visą laiptų pakopą arba priskirti pastatui neišlikusį frontoną. Matuojant kitaip, gaunami santykiai nuo 1,5 iki 1,9. Teiginį apie Didžiąją piramidę iškėlė XIX amžiaus autoriai, o egiptiečių matematikos šaltiniai, tokie kaip Rhindo papirusas, aukso pjūvio nemini, nuolydis paaiškinamas paprastu sveikųjų skaičių santykiu (seked). Leonardas da Vinčis iliustravo Pacioli knygą, tačiau nėra jokio jo užrašo, kad „Mona Liza“ ar kiti paveikslai komponuoti pagal φ, o įvairūs autoriai ant paveikslo aukso stačiakampius deda skirtingose vietose.

Tas pats galioja daugeliui teiginių apie žmogaus kūną, muziką ar akcijų rinkas: kai matavimų daug, o leistina paklaida didelė, 1,618 „randamas“ ten, kur jo niekas nedėjo. Tai nesumenkina pačios proporcijos, ji išlieka tiksliai apibrėžta ir gamtoje tikrai pasireiškia filotaksėje. Tiesiog dalį pasakojimų apie ją reikia skaityti kaip XIX ir XX amžių populiariosios literatūros palikimą.

Sąmoningą aukso pjūvio naudojimą liudija pačių autorių raštai. Architektas Le Corbusier 1948 metais paskelbė proporcijų sistemą „Modulor“, kurioje matmenys apskaičiuojami pagal žmogaus ūgį taikant aukso pjūvį, ir taikė ją projektuodamas savo pastatus. Kompozitorius Béla Bartókas ir dailininkas Salvadoras Dali (paveikslas „Paskutinės vakarienės sakramentas“, 1955, nutapytas ant aukso stačiakampio proporcijų drobės, jame pavaizduotas dodekaedras) taip pat žinomi kaip sąmoningai naudoję aukso pjūvį. Skirtumas paprastas: vienais atvejais yra autoriaus liudijimas, kitais tik vėlesnių interpretuotojų liniuotė.

Kaip naudoti aukso pjūvį dizaine ir maketuose: taisyklė 3:5:8 ir 5:8

Dizaine aukso pjūvis dažniausiai naudojamas dalijant plotį į dvi dalis, sudarančias 61,8 % ir 38,2 % viso pločio, arba, paprasčiau, pagal Fibonačio artinius 5:8 ir 3:5:8. Pavyzdžiui, 1200 taškų pločio tinklalapio turinio stulpelis pagal aukso pjūvį būtų 742 taškų, o šoninė juosta 458 taškų pločio. Tos pačios proporcijos taikomos ir vertikaliai: antraštės blokui ir pagrindiniam turiniui, nuotraukai ir aprašymui, logotipo ženklui ir užrašui.

Kitas įprastas taikymo būdas yra dydžių skalės. Jei bazinį šrifto dydį, tarkime, 16 taškų, kaskart dauginsime iš 1,618, gausime skalę 16, 26, 42, 68, 110 taškų; jei dauginsime iš 1,25 ar 1,333, skalė bus tankesnė. Tarpams ir atstumams dažnai pasirenkami tiesiog Fibonačio skaičiai: 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 taškų. Toks rinkinys patogus tuo, kad bet kurių dviejų gretimų dydžių santykis yra artimas aukso pjūviui, o jų sumos irgi patenka į skalę.

Lentelėje pateikta, kaip dažniausiai naudojami pločiai dalijami pagal aukso pjūvį; skaičiai suapvalinti iki sveikųjų skaičių. Viršuje esanti skaičiuoklė apskaičiuoja bet kokį kitą plotį.

Aukso pjūvis yra viena iš daugelio proporcijų sistemų greta 2:3, 3:4, √2 ir kvadrato. Jo praktinis pranašumas yra tas, kad dalių tarpusavio santykis yra toks pat kaip didesniosios dalies ir visumos, todėl į maketą įdėtas mažesnis elementas atkartoja didesniojo proporcijas. Ar dėl to maketas atrodo geriau, priklauso nuo turinio ir konteksto, o tyrimų, kurie vienareikšmiškai patvirtintų aukso pjūvio estetinį pranašumą prieš kitas proporcijas, nėra: Gustavo Fechnerio XIX amžiaus eksperimentai su stačiakampiais vėliau buvo kartojami ir davė prieštaringų rezultatų.

Aukso pjūvis fotografijoje: kuo phi tinklelis skiriasi nuo trečdalių taisyklės?

Phi tinklelis nuo trečdalių taisyklės skiriasi tuo, kad kadrą dalija santykiu 1 : 0,618 : 1, o ne į tris lygias dalis. Pagal trečdalių taisyklę linijos eina ties 33,3 % ir 66,7 % kadro pločio ir aukščio, o phi tinklelyje ties 38,2 % ir 61,8 %. Skirtumas nedidelis, apie 5 % kadro, todėl naudojant abu tinklelius praktiškai gaunamos panašios kompozicijos, kuriose svarbiausias objektas patrauktas nuo centro.

Trečdalių taisyklė yra tiesiog patogus supaprastinimas, kurį lengva įsivaizduoti be pagalbinių linijų ir kurį siūlo daugelis fotoaparatų. Phi tinklelio linijos yra arčiau centro, todėl objektas atsiduria kiek toliau nuo krašto. Kai kurios nuotraukų redagavimo programos siūlo abu tinklelius ir dar aukso spiralę, kurią galima pasukti keturiomis kryptimis, kad spiralės centras sutaptų su kadro akcentu.

Kaip ir kalbant apie paveikslus, čia svarbu nepainioti įrankio su įrodymu. Ant beveik bet kurios geros nuotraukos galima uždėti spiralę taip, kad ji atrodytų tinkanti, nes spiralė driekiasi per didelę kadro dalį. Tai nereiškia, kad fotografas pagal ją komponavo kadrą. Tinklelis yra naudingas kaip pradinis orientyras, ypač mokantis, o ne kaip teisingumo matas.

Ką aukso pjūvis reiškia sakralinėje geometrijoje ir kodėl jis vadinamas dieviškąja proporcija?

Sakralinėje geometrijoje ir ezoterinėje tradicijoje aukso pjūvis laikomas harmonijos, augimo ir visumos bei dalies vienybės simboliu, nes jame dalis santykiauja su visuma taip pat, kaip mažesnė dalis su didesniąja. Šios tradicijos ištakos siekia pitagoriečius, kuriems pentagrama su pagal aukso pjūvį dalijamomis atkarpomis buvo brolijos ženklas, ir Pacioli, kuris 1509 metais proporciją pavadino dieviškąja, siedamas jos tris narius su Švenčiausiąja Trejybe, o jos iracionalumą su Dievo nepažinumu.

Vėliau, ypač XIX ir XX amžiuje, aukso pjūvis tapo teosofų, antroposofų ir įvairių naujųjų dvasinių judėjimų simbolikos dalimi greta gyvybės gėlės, Platono kūnų ir Metatrono kubo. Šiuose kontekstuose jis aiškinamas kaip kūrimo, augimo ar universalios tvarkos raktas. Tai kultūrinė ir simbolinė tradicija, o ne matematikos ar gamtos mokslų teiginys, ir čia ji pateikiama kaip tradicija.

Matematinis faktas ir simbolinė reikšmė gali gyvuoti greta: φ tikrai yra vienintelis teigiamas skaičius, kurio kvadratas ir atvirkštinis skaičius nuo jo paties skiriasi lygiai vienetu, o kokią simbolinę reikšmę žmogus tam suteikia, priklauso nuo jo pasaulėžiūros. Viršuje esanti skaičiuoklė atlieka tik matematinius skaičiavimus.